1) Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Если $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, то её сумма равна $\frac{u_1}{1-q}$, где $q$- это знаменатель прогрессии.

2) Дифференцирование рядов.
Способ состоит в нахождении суммы ряда из производных и последующем интегрировании(или наоборот). Для нахождения суммы $\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)$, можно сначала найти сумму ряда $\sum_{n=0}^{\infty}f_n'(x)=S(x)$, тогда суммой исходного ряда будет $\int_0^xS(x)dx$.

3) Вычисление предела последовательности частных сумм.

4) Формула суммирования Пуассона.
$\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}F(k)$, где $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi\cdot i\cdot\omega\cdot x}dx$.

1) Посчитать сумму ряда Дирихле $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$.
Очевидно, что $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2+a},\;a=0$
Сумму последнего ряда можно посчитать при помощи формулы суммирования Пуассона:
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{x^2+a}e^{-2\pi\cdot i\cdot\omega\cdot x}dx=\frac{e^{-2\sqrt a\pi|\omega|}\pi}{\sqrt a}$
Используя формулу суммы геометрической прогрессии получаем:
$\frac{\pi }{\sqrt{a}}+2\sum _{\omega =1}^{\infty } \frac{e^{-2 \sqrt{a} \pi \omega } \pi }{\sqrt{a}}=\frac{\pi }{\sqrt{a}}+\frac{2 \pi }{\sqrt{a} \left(-1+e^{2 \sqrt{a} \pi }\right)}$
Откуда можно выразить нашу сумму:
$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2+a}=\frac{\frac{\pi }{\sqrt{a}}+\frac{2\pi }{\sqrt{a} \left(-1+e^{2 \sqrt{a} \pi }\right)}-\frac{1}{a}}{2}$
Остаётся только обнулить $a$:
$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}=\lim_{a\to0}\frac{\frac{\pi }{\sqrt{a}}+\frac{2\pi }{\sqrt{a} \left(-1+e^{2 \sqrt{a} \pi }\right)}-\frac{1}{a}}{2}=\frac{\pi^2}6$
2) Посчитать сумму $S=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1{n^2}\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac1{k^2}\right)$
Здесь стоит вспомнить, что со сходящимися рядами можно производить те же операции, что и с конечными суммами:
${\frac{\pi^4}{36} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}=\sum_{n=1\\k=1}^{\infty} \frac1{(nk)^2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}+\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac1{n^2}\frac1{k^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=k+1}^{\infty} \frac1{k^2}\frac1{n^2}=$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}+ \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{n^2}\frac1{(n+k)^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{k^2}\frac1{(k+n)^2} = \frac{\pi^4}{90} + 2S$
Откуда выражается $S=\frac{\pi^4}{120}$