ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
Н. М. БЕСКИН
Еще в глубокой древности ученых интересовало, как для любого нецелого числа найти его хорошее приближение дробями с небольшими знаменателями. В статье рассказывается о самом простом способе нахождения таких дробей.
I. ДВЕ ЗАГАДКИ 1. Загадка Архимеда. Многие полагают: чтобы найти что-нибудь необыкновенное, надо отправиться очень далеко, лучше всего в космос. В обыденной жизни вокруг нас все хорошо известно, и ничего интересного нет.
Какое заблуждение! Мы окружены загадочными явлениями, но не задумываемся над ними, потому что они привычны. Здесь будет рассказано о двух загадочных фактах из истории математики.
Все школьники мира «проходят» в курсе геометрии, что Архимед нашел для числа $\pi$ приближенное значение $\frac{22}7$ *). К этому факту так привыкли, что не подозревают, какая тайна в нем скрыта. А между тем стоит только задать естественный вопрос: почему Архимед предпочел седьмые доли? Почему не восьмые? Попытка ответить на этот вопрос приведет нас в новую область арифметики.
Уточним задачу «дать приближенное выражение действительного числа а в виде дроби со знаменателем $q$». Это значит- из всех дробей со знаменателем $q$ найти ближайшую к числу $\alpha$. Если на числовой оси нанесены все дроби со знаменателем $q$, то число $\alpha$ попадает между двумя такими соседними дробями (случай, когда а совпадает с одной из них, неинтересен)
$\frac{p-1}q<\alpha<\frac pq$
Из этих двух дробей выбирается та, которая ближе к $\alpha$. Например, на рис. 1:
Untitled_1.png
точка $\alpha$ ближе к правому концу отрезка $\left[\frac{p-1}q\ ;\ \frac pq\right]$, и поэтому следует принять
$\alpha\approx\frac pq$
если $\alpha$ есть середина отрезка $\left[\frac{p-1}q\ ;\ \frac pq\right]$, то для определенности
условимся выбирать его левый конец.
Процесс замены числа $\alpha$ его приближенным значением называют аппроксимацией (приближением).
Из изложенного понятно, что для аппроксимации числа $\alpha$ можно пользоваться дробями с любым знаменателем. Выбор знаменателя зависит от нашего желания. Ради технического удобства почти всегда пользуются десятичными дробями. Однако во времена Архимеда десятичные дроби еще не были изобретены, и Архимед мог выбрать любые доли. Он выбрал седьмые. Почему? Терпение, скоро мы в этом разберемся.
При аппроксимации действительного числа $\alpha$ дробью $\frac pq$ возникает погрешность
$\Delta=\alpha-\frac pq$
(запомним: погрешность есть точное значение минус приближенное). Если приближенное значение взято с недостатком, то погрешность положительна, а если с избытком - отрицательна.
Абсолютная величина погрешности называется абсолютной погрешностью.
Ясно, что при избранном способе аппроксимации абсолютная погрешность не может превышать \frac1{2q} (см. рис. 1)
$\left|\Delta\right|\le\frac1{2q}$
Число $\frac1{2q}$ есть верхняя граница абсолютной погрешности. При другом способе аппроксимации верхняя граница может быть иной. Например, если бы мы условились всегда брать приближение с недостатком, то она равнялась бы $\frac1{q}$.
Абсолютная погрешность достигает верхней границы в том (самом неблагоприятном) случае, когда $\alpha$ есть середина отрезка
$\left[\frac{p-1}q\ ;\ \frac pq\right]$
Ясно, что приближение выгодно, если оно при малом знаменателе q дает высокую точность. Чтобы характеризовать выгодность, надо сравнить две величины: 1) фактическую абсолютную погрешность, 2) верхнюю границу абсолютной погрешности:
Untitled-1_2.png$=\left|\alpha-\frac pq\right|:\frac1{2q}=2\cdot\left|q\alpha-p\right|$
Принято рассматривать половину этой величины. Назовем ее приведенной погрешностью
$h=\left|q\alpha-p\right|$
и запомним: приведенная погрешность $h$ есть половина отношения фактической абсолютной погрешности к максимально возможной. Очевидно,
$0<h\le\frac12$
Чем меньше h, тем выгоднее приближение. Если $h$ близко к нулю, значит, число $\alpha$ расположено близко к одному из концов отрезка $\left[\frac{p-1}q\ ;\ \frac pq\right]$. Чем ближе $h$ к $\frac12$, тем $\alpha$ ближе к середине отрезка.
